稀疏诱导范数的几何

稀疏优化寻求具有少量非零条目的优化解。为实现此目标，通常会对准则添加与 $\ell_1$ 范数成比例的惩罚项，后者被认为是稀疏诱导范数中的典范。在此方法中，未对非零条目的数量事先进行控制。相反，本文旨在寻找最多有 $k$ 个非零坐标的优化解（简称 $k$ 稀疏向量），其中 $k$ 为给定的稀疏阈值（或“稀疏预算”）。为此目的，我们研究了从任意给定的所谓源范数中产生的广义 $k$ 支持对偶范类的研究。将其作为惩罚项添加时，我们提供了促使 $k$ 稀疏解的条件。该结果源于对由 $k$ 稀疏向量生成的封闭凸集所呈现面进行分析，以及从双侧信息中推导出原始支持识别的方法。最后，我们研究了当源范数属于 $\ell_p$ 范数家族时，$k$ 支持对偶范数及其对偶范数的单位球的几何性质。特别是，我们展示了一个显著的结构属性：$k$ 支持对偶范数的单位球的每个 proper 面都是一个超平面，即由具有相同 $\ell_0$ 范数的 0/1 值点的凸包。