理性几何：有效数学推理的谱特征

我们提出一种无需训练的方法，通过注意力模式的谱分析来检测大型语言模型中的有效数学推理。将注意力矩阵视为动态图中节点之间的邻接矩阵，从而提取四种可解释的谱诊断工具：Fiedler值（代数连通性）、高频能量比（HFER）、图信号平滑性和谱熵，这些指标在有效与无效数学证明之间表现出统计显著差异。实验覆盖来自Meta Llama、Alibaba Qwen、Microsoft Phi和Mistral AI四个独立架构家族的七个Transformer模型，结果显示该谱特征可实现最高达Cohen's d = 3.30（p < 10^{-116}）的效应大小，在严格评估下实现85.0%至95.6%的分类准确率，校准阈值在完整数据集上达到93%至95%。该方法无需训练数据、微调或学习分类器：仅凭一个谱量标的阈值即可实现高精度。通过系统性标签纠正，我们发现该谱方法检测的是逻辑一致性而非编译器接受情况，识别出因技术故障而被形式验证器拒绝的数学有效证明。我们进一步识别出一种架构依赖性：Mistral-7B的滑动窗口注意力将判别信号从HFER转移到后期图平滑性（d = 2.09, p_{MW} = 1.16 × 10^{-48}），揭示注意力机制的设计会影响哪些谱特征捕捉推理有效性。这些发现确立了谱图分析作为推理验证的原则框架，具有及时应用于幻觉检测和AI安全监控的前景。