纠错码与信号重构的几何方法
泛函分析
2016-12-23 v1 组合数学
摘要
我们通过几何泛函分析的方法研究纠错码以及从少量线性测量中重构信号的问题。纠错码将 n 字母单词 x 编码为 m 字母单词 y,使得当 y 中任意 r 个字母被破坏时,x 仍可被正确解码。我们证明,从 R^n 到 R^m 的大部分线性正交变换 Q 构成实数上高效且鲁棒的纠错码。解码器(用于纠正 y 中被破坏的分量)是到 Q 的值域在 L_1 范数下的度量投影。信号处理中出现一个等价问题:如何从小类中从少量线性测量重构信号?我们证明,对于大多数高斯测量集合,所有小支撑信号都可通过 L_1 范数最小化精确重构。这是对 Donoho 以及 Candes 和 Tao 近期结果的实质性改进。组合几何中的一个等价问题是具有固定面数且低维面数最大的多胞体的存在性。我们证明立方体的大部分截面构成此类多胞体。
引用
@article{arxiv.math/0502299,
title = {Geometric approach to error correcting codes and reconstruction of signals},
author = {Mark Rudelson and Roman Vershynin},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0502299},
year = {2016}
}
备注
17 pages, 3 figures