通过神经网络生成可矩形化测度

我们推导了 (可数) $m$ 可矩形化测度的通用逼近结果。具体而言，我们证明 $m$ 可矩形化测度可通过使用 ReLU 神经网络对区间 $[0,1]$ 上一维 Lebesgue 测度进行 push-forward 来实现，其逼近误差以 Wasserstein 距离为标准可任意小。此外，考虑到的神经网络中的权重是量化且有界的， achieving an approximation error of $\varepsilon$ 所需的神经网络数量上限为 $2^{b(\varepsilon)}$，其中 $b(\varepsilon)=\mathcal{O}(\varepsilon^{-m}\log^2(\varepsilon))$。该结果改进了 Perekrestenko 等人第 IX.4 引理，表明 $b(\varepsilon)$ 随着 $\varepsilon$ 趋于零的收敛速率等于矩形化参数 $m$，而该参数远小于环境维度。我们将该结果推广到可数 $m$ 可矩形化测度，证明只要在其他技术假设下，可数 $m$ 可矩形化支撑集的各个组成部分上的测度呈指数衰减，上述速率仍等于矩形化参数 $m$。