高维广义核距离协方差：非平凡中心极限定理与功效普适性

距离协方差是随机向量 $X$ 和 $Y$（可能具有不同维度和类型）之间一种流行的依赖性度量。近年来，文献中集中努力理解高维设定下样本距离协方差的分布性质，且 exclusively 强调 $X$ 和 $Y$ 独立这一零假设情形。本文推导了样本距离协方差以及更一般的样本（Hilbert-Schmidt）核距离协方差在高维下的首个非平凡中心极限定理，主要是在高斯情形下。新的非平凡中心极限定理为广泛使用的广义核距离相关性独立性检验给出了渐近精确的一阶功效公式。该功效公式特别揭示了一个有趣的普适现象：在高维极限下，广义核距离相关性检验的功效完全由 $n\cdot \text{dcor}^2(X,Y)/\sqrt{2}$ 决定，而不管核与带宽参数的广泛选择。此外，该分离速率在极小极大意义下也被证明是最优的。非平凡中心极限定理证明的关键步骤是样本距离协方差在高维下均值与方差的精确展开，其表明（除其他外）样本距离协方差的非平凡高斯近似涉及维度与样本量之比和 $X$ 与 $Y$ 之间依赖性的微妙相互作用。