保证泛化误差的基于自编码器的算子学习非线性模型降阶
机器学习
2024-01-22 v1
摘要
科学与工程中的许多物理过程自然地表示为无穷维函数空间之间的算子。在此背景下，算子学习问题旨在从经验数据中提取这些物理过程，但由于数据具有无穷或高维数，这极具挑战性。应对这一挑战的一个核心组件是模型降阶，它同时降低了数据维数与问题规模。在本文中，我们通过研究基于自编码器的神经网络（Auto-Encoder-based Neural Network, AENet），在模型降阶中利用了低维非线性结构。AENet 首先学习输入数据的潜在变量，然后学习从这些潜在变量到对应输出数据的变换。我们的数值实验验证了 AENet 准确学习非线性偏微分方程解算子的能力。此外，我们建立了一个数学与统计估计理论来分析 AENet 的泛化误差。我们的理论框架表明，训练 AENet 的样本复杂度与建模过程的内在维度密切相关，同时证明了 AENet 对噪声具有显著的鲁棒性。
引用
@article{arxiv.2401.10490,
title = {Generalization Error Guaranteed Auto-Encoder-Based Nonlinear Model Reduction for Operator Learning},
author = {Hao Liu and Biraj Dahal and Rongjie Lai and Wenjing Liao},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.10490},
year = {2024}
}