遗憾最小化中增益与损失本质不同：稀疏情形

我们证明，在具有 $d$ 个决策的经典非随机遗憾最小化问题中，待分别最大化或最小化的增益与损失存在本质差异。事实上，通过考虑额外的稀疏性假设（在每个阶段，至多 $s$ 个决策产生非零结果），我们推导出了不同阶的最优遗憾界。具体而言，对于增益，我们在 $T$ 个阶段后获得了阶为 $\sqrt{T\log s}$ 的最优遗憾保证，从而将经典的对维度的依赖替换为稀疏度大小。对于损失，我们给出了阶为 $\sqrt{Ts\log(d)/d}$ 的匹配上界与下界，该界随 $d$ 递减。最后，我们还研究了赌博机（bandit）设定，并在结果为损失时获得了阶为 $\sqrt{Ts\log (d/s)}$ 的上界。该上界被证明在至多对数因子 $\sqrt{\log(d/s)}$ 的意义下是最优的。