拜占庭协议的基本极限

拜占庭协议（BA）是一个分布式共识问题，其中$n$个处理器希望对一条$\ell$位消息或值达成一致，但其中多达$t$个处理器是不诚实或发生故障的。该BA问题的挑战在于，尽管存在可能任意偏离既定协议的不诚实处理器，仍要实现一致。BA协议的质量主要通过以下三个参数衡量：作为所允许$t$的函数的处理器数量$n$（弹性）；轮数（轮复杂度，记为$r$）；以及通信比特总数（通信复杂度，记为$b$）。对于任何无错误BA协议，这三个参数的已知下界分别为$n\geq 3t+1$、$r\geq t+1$和$b\geq\Omega(\max\{n\ell, nt\})$，其中保证在所有执行中均正确的协议称为无错误的。本工作中，我们利用编码理论，结合图论与线性代数，设计了一种编码BA协议（称为COOL），在$\ell \geq t\log t$时同时以最优弹性、渐近最优轮复杂度和渐近最优通信复杂度对$\ell$位消息达成共识。所提COOL是一种不依赖密码技术、无错误且确定性的BA协议，可抵御计算能力无界的敌手。基于所提COOL的可达性能与已知下界，我们将最优通信复杂度指数刻画为$$\beta^*(\alpha,\delta)=\max\{1+\alpha,1+\delta\}$$，其中$\beta= \lim_{n\to\infty}\log b/\log n$，$\alpha=\lim_{n \to \infty} \log \ell/\log n$，$\delta=\lim_{n\to\infty} \log t/\log n$。本工作揭示了编码是实现拜占庭协议及其变体基本极限的有效途径。