从费马原理到物理信息神经网络：变分物理的统一计算方法
计算物理
2026-01-06 v1
摘要
变分原理是贯穿众多物理学领域的统一数学框架，但其在本科教育阶段的教学主要仍停留在解析方法上。本文提出一种以教学为导向、结合现代计算工具的变分建模方法，集成梯度下降、自动微分和物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）等当代技术。将经典变分问题转化为优化任务，并采用开源 Python 库（如 NumPy、Matplotlib、PyTorch 和 JAX）实现。本文通过一系列来自本科课程标准内容的案例进行演示，包括：从费马原理推导斯涅尔定律、带无阻力与有粘性阻力的抛物线运动、简谐振动、带阻尼的非线性摆、受非线性温度依赖内部热源制约的稳态热传导（拉普拉斯方程与泊松方程）、依据最小作用量原理的双摆、振动弦的变分处理。此外，还展示了量子力学应用，通过求解氢原子、氦原子以及硅核的示意核模型，说明该框架在经典、量子和核物理中的广泛适用性。该方法旨在增强概念性理解，同时引导学生掌握现代计算研究方法。
引用
@article{arxiv.2601.01262,
title = {From Fermat's Principle to Physics-Informed Neural Networks: A Unified Computational Approach to Variational Physics},
author = {Aman Razdan and Aditya Shankar Mazumdar and Amit Tanwar and Pragati Ashdhir},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.01262},
year = {2026}
}