奇偶决策树的傅里叶增长

我们证明，对于 $n$ 个变量上深度为 $d$ 的每一个奇偶决策树，第 $\ell$ 层傅里叶系数绝对值之和至多为 $d^{\ell/2} \cdot O(\ell \cdot \log(n))^\ell$。我们的结果对于较小的 $\ell$ 值近乎紧，并推广了 Sherstov、Storozhenko 和 Wu（STOC，2021）先前针对标准决策树的傅里叶界。作为我们傅里叶界的应用，利用 Bansal 和 Sinha（STOC，2021）的结果，我们证明 $k$ 重 Forrelation 问题具有（随机化）奇偶决策树复杂度 $\tilde{\Omega}\left(n^{1-1/k}\right)$，而其量子查询复杂度为 $\lceil k/2\rceil$。我们的证明遵循随机游走方法，分析决策树中一条随机路径对第 $\ell$ 层傅里叶表达式的贡献。为完成该论证，我们对奇偶决策树施加细致的清理过程，确保随机游走的值以高概率有界。我们观察到，第 $\ell$ 层游走的步长可由 $\le \ell-1$ 层游走的中间值计算，这要求使用归纳论证。我们的方法不同于 Tal（FOCS，2020）以及 Sherstov、Storozhenko 和 Wu（STOC，2021）依赖树分解的先前证明。特别地，对于标准决策树这一特例，我们认为该证明稍更简单且更直观。此外，我们对代价至多为 $d$ 的噪声决策树——一个由 Ben-David 和 Blais（FOCS，2020）近期引入的模型——证明了类似界。