难寻群的固定点数与多循环猜想

设 $G\leq{\rm Sym}(\Omega)$ 为传递群。若 $G$ 没有素数阶无不动点元素，则称 $G$ 在 $\Omega$ 上是\textit{难寻的}。$G$ 的\textit{2-闭包}记为 $G^{(2),\Omega}$，是 ${\rm Sym}(\Omega)$ 中在 $\Omega\times\Omega$ 上与 $G$ 有相同轨道的最大子群。若 $G=G^{(2),\Omega}$，则称 $G$ 在 $\Omega$ 上是 2-闭的。\textit{多循环猜想}断言不存在 2-闭的难寻群。本文研究难寻群的\textit{固定点数}（fixity），即 $G$ 的非平凡元素所能具有的最大不动点个数。特别地，我们证明了不存在固定点数不超过 $5$ 的 2-闭可解难寻群，这是对多循环猜想的部分回答。