扩散过程水平穿越导致的滤子缩减

我们发展了最近在信用风险建模文献中被考虑的一种滤子缩减模型的数学。给定 $\mathbb{R}$ 中的有限点集 $x_1<...<x_N$，区域指示函数 $R(x)$ 在 $x\in(x_{i-1},x_i]$ 时取值为 $i$。我们取 $\mathbb{F}$ 为由 $(R(X_t))_{t\geq0}$ 生成的滤子，其中 $X$ 是具有无穷小生成元 $\mathcal{A}$ 的扩散过程。我们证明了 $\mathbb{F}$ 的鞅表示定理，该定理由对 $N$ 个随机测度的随机积分表示，这些随机测度的补偿子具有由某些 Lévy 测度 $F^{j\pm}_i$ 给出的简单形式，而这些 Lévy 测度与微分方程 $\mathcal{A}u=\lambda u$ 相关。