与除数函数 $\sigma_{a}^{(N)}(n)$ 相关的广义 Lambert 级数的显式变换及其应用

令 $\sigma_a^{(N)}(n)=\sum_{d^{N}|n}d^a$。利用近期建立的 $\sigma_a^{(N)}(n)$ 的 Voronoï 求和公式，我们对广义 Lambert 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{a}^{(N)}(n)e^{-ny}$（Re$(a)>-1$）获得了显式变换，并通过解析延拓推广至更宽区域。当 $N=1$ 时，如 Dorigoni 与 Kleinschmidt 近期工作所示，该 Lambert 级数在弦论散射振幅中扮演重要角色。这些变换给出了若干恒等式——Ramanujan 关于 $\zeta(2m+1)$ 公式的新推广、与扩展高阶 Herglotz 函数相关的恒等式、广义 Dedekind eta 变换、Wigert 变换等，本文均予以推导，从而给出其统一证明。其中某一显式变换的特例自然引导我们考虑具有“$n^{2N-1}$ 个 $n^{N}$ 副本”的广义幂划分。我们还推导了其生成函数在 $q\to1^{-}$ 时的渐近展开，推广了 Wright 关于平面划分生成函数的结果。为获得这些变换，需要若干新的中间结果，例如 Meijer $G$-函数的新归约公式，以及 $\left.\frac{\partial E_{2N, \beta}(z^{2N})}{\partial\beta}\right|_{\beta=1}$ 的近乎闭式求值，其中 $E_{\alpha, \beta}(z)$ 为双变量 Mittag-Leffler 函数。