POVM假设类的胖破碎、联合可测性与PAC可学习性

我们通过建立与PAC可学习性相匹配的必要充分条件以及相应的样本复杂度界，刻画了量子测量类的可学习性，设定为学习器仅能访问已制备的量子态。我们首先探究了先前工作中关于该设定的结果。我们表明，先前工作中定义且与经典理论定义相符的经验风险，对于某些可学习类，无法满足经典设定下所具有的一致收敛性质。此外，我们表明先前工作中的VC维泛化上界经常是无穷的，即便对于有限维POVM类也是如此。为克服标准ERM无法满足一致收敛的缺陷，我们定义了一种新的学习规则——去噪ERM（denoised ERM）。我们证明它是POVM和概率观测概念类的通用学习规则，且其满足一致收敛的条件是该类具有有限胖破碎维数（fat shattering dimension）。我们给出了以有限胖破碎维数以及近似有限划分为近似联合可测子集（允许样本复用）这一概念度量的可学习性的定量样本复杂度上下界。接着我们证明有限胖破碎维数蕴含可被近似联合可测子集有限覆盖，从而得到我们的匹配条件。我们还证明，定义在有限维Hilbert空间上的每个测量类都是PAC可学习的。我们在若干POVM类实例上阐释了我们的结果。