FastMMD：用于高效双样本检验的圆差异集成

最大均值差异（MMD）是近期提出的一种用于双样本检验的检验统计量。然而，其二次时间复杂度极大地限制了其在大规模应用中的可用性。为加速 MMD 计算，本研究提出了一种称为 FastMMD 的高效方法。FastMMD 的核心思想是基于 Bochner 定理和傅里叶变换（Rahimi & Recht, 2007），将具有平移不变核的 MMD 等价变换为正弦分量线性组合的幅度期望。利用傅里叶变换的采样优势，FastMMD 将 MMD 计算的时间复杂度从 $O(N^2 d)$ 降低至 $O(L N d)$，其中 $N$ 和 $d$ 分别为样本集的大小和维度。此处 $L$ 是用于近似核的基函数数量，决定了近似精度。对于球对称不变核，利用 Fastfood 技术（Le et al., 2013）可将计算进一步加速至 $O(L N \log d)$。我们在无偏和有偏估计两种情况下，从理论上证明了该方法的均匀收敛性。我们还为该方法的几何解释提供了说明，即圆差异集成，这有助于我们理解 MMD 的内在机理，并有望激发更多用于评估双样本检验的广泛度量。实验结果证实，FastMMD 具有与精确 MMD 相似的精度，同时比现有的 MMD 近似方法具有更快的计算速度和更低的方差。