极小极大资源分享的更快原始对偶收敛及基于局部弱对偶的更强界

我们重新审视（块角）极小极大资源分享问题，它是分数打包与最大并发流问题的著名推广。该问题由在非空闭凸集 $X_C \subseteq \mathbb{R}^{\mathcal{R}}_{\geq 0}$ 的闵可夫斯基和 $\mathcal{X}= \sum_{C \in \mathcal{C}} X_C$ 中寻找 $\ell_{\infty}$-极小元组成，其中 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{R}$ 为有限集。我们假设给定了在 $X_C$ 上近似线性极小化的预言机。在此设定下，当前已知最快的 FPTAS 由 M"uller、Radke 和 Vygen 给出。对 $\delta \in (0,1]$，它使用 $\mathcal{O}((|\mathcal{C}|+|\mathcal{R}|)\log |\mathcal{R}| (\delta^{-2} + \log \log |\mathcal{R}|))$ 次预言机调用计算 $\sigma(1+\delta)$-近似最优解，其中 $\sigma$ 为预言机的近似比。我们描述了他们算法的扩展，并在多方面改进先前结果。我们的 FPTAS 与以往方法一样基于乘性权重更新法，使用 $\mathcal{O}\left(\frac{|\mathcal{C}|+ |\mathcal{R}|}{\delta^2} \log |\mathcal{R}|\right)$ 次预言机调用计算接近最优的原始与对偶解。我们证明在某些假设下我们的运行时间是最优的，意味着不可能对该算法进行热启动分析。我们分析的一个主要新颖点是局部弱对偶概念，其说明该算法（接近）独立地分别优化实例的各个部分。有趣的是，这意味着所计算的解不仅是近似 $\ell_{\infty}$-极小的，而且在此类解中其第二高元素也是近似极小的。我们证明该结论不能推广到第三高元素。