Fréchet距离下子曲线更快的近似覆盖

子轨迹聚类是轨迹聚类问题的一个重要变体，其中所收集轨迹数据中轨迹模式的起点和终点事先未知。我们以给定折线曲线的集合覆盖问题形式研究该问题：找到最小数量$k$的表示曲线，使得输入曲线上的任意点都包含在一个子曲线中，该子曲线与某条表示曲线的Fréchet距离至多为给定$\Delta$。我们关注表示曲线为线段的情况，并使用几何集合覆盖领域的经典技术来处理这一NP困难问题：我们采用了Br"onniman和Goodrich最初针对小VC维集合覆盖实例提出的乘权更新方法的一种变体。我们得到一个双准则近似算法，计算出由$O(k\log(k))$条线段组成的集合，在Fréchet距离至多$O(\Delta)$下覆盖具有$n$个顶点的给定折线曲线。我们证明该算法期望运行时间为$\widetilde{O}(k^2 n + k n^3)$，使用$\widetilde{O}(k n + n^3)$空间。对于$c$-packed的二维输入曲线，我们将期望运行时间限制为$\widetilde{O}(k^2 c^2 n)$，空间限制为$\widetilde{O}(kn + c^2 n)$。在$\mathbb{R}^d$中，对$n$的依赖改为二次。此外，我们提出了该算法的一个变体，其对候选集使用隐式权值更新，从而在无任何输入曲线假设下实现对$n$的近线性运行时间，同时保持相同的近似界。这是以对相对弧长的小（多对数）依赖为代价的。