任意位移下 Popov 形式极小插值基的快速计算

我们计算一个通用插值问题的解的最小基，该问题包含 Hermite-Padé 逼近和约束多元插值，并在编码理论和安全中有应用。该问题要求在大小为 $\sigma$ 的 $m$ 个向量之间找到单变量多项式关系；这些关系相对于输入次数位移应具有小次数。对于任意位移，我们提出一种算法，以 $\mathcal{O}\tilde{~}(m^{\omega-1} \sigma)$ 次域运算的计算代价，计算位移 Popov 标准形下的插值基，其中 $\omega$ 是矩阵乘法的指数，符号 $\mathcal{O}\tilde{~}(\cdot)$ 表示忽略对数项。早期工作在 Hermite-Padé 逼近和通用插值情况下计算非标准化基。由于对于任意位移此类基的大小可能为 $\Theta(m^2 \sigma)$，代价界 $\mathcal{O}\tilde{~}(m^{\omega-1} \sigma)$ 仅在确保小输出尺寸的位移的限制性假设下可行。以相同复杂度界处理任意位移的问题此前悬而未决。为获得任意位移下的目标代价，我们强化了输出基以及算法过程中所得基的性质：所有基均以位移 Popov 形式计算，其大小始终为 $\mathcal{O}(m \sigma)$。随后，我们设计了分治方案。我们通过首先计算中间基的次数信息，递归地将初始插值问题归约为具有更便利位移的子问题。