快速且最长的过山车序列

对于 $k\geq 3$，k-过山车序列是指其每个极大连续递增或递减子序列长度至少为 $k$ 的数序列；$3$-过山车序列简称为过山车序列。给定一 distinct 数序列，我们关注计算其最大长度（不必连续）的 $k$-过山车子序列。Biedl 等人 [ICALP 2018] 已证明每个含 $n$ 个 distinct 实数的序列在 $n>7$ 时包含长度至少为 $\lceil n/2\rceil$ 的过山车序列，且此类序列中最长过山车可在 $O(n\log n)$ 时间内算出。他们还证明每个含 $n\geq (k-1)^2+1$ 个 distinct 实数的序列包含长度至少为 $\frac{n}{2(k-1)}-\frac{3k}{2}$ 的 $k$-过山车序列，并给出了在长度为 $n$ 的序列中计算最长 $k$-过山车的 $O(nk\log n)$ 时间算法。本文中，我们给出一种 $O(nk^2)$ 时间算法，计算含 $n$ 个 distinct 实数的序列中最长 $k$-过山车的长度；因此，对于常数 $k$，我们的算法在最优线性时间内计算最长 $k$-过山车的长度。该算法可轻易调整以输出相应 $k$-过山车。特别地，这改进了 Biedl 等人 [ICALP 2018] 的结果，表明最长过山车可在最优线性时间内算出。我们还提出一种在 $O(n \log^2 n)$ 时间内计算最长 $k$-过山车长度的算法，即对于大至 $k\leq n$ 的 $k$ 也是亚二次的。同样，过山车可轻易重构。最后，我们给出任何基于比较的计算最长 $k$-过山车长度的算法在比较次数上的 $\Omega(n \log k)$ 下界。