寻找所有大小 $\leq k$ 的最左分离器

我们定义了大小至多为 $k$ 的最左分离器概念。大小为 $k$ 的最左分离器是一个极小分离器 $S$，它分离给定的两个顶点集 $X$ 和 $Y$，使得我们“无法将 $S$ 进一步向 $X$ 移动”且保持 $|S|$ 小于阈值。其动机之一是利用最左分离器可以改善树宽近似的时间复杂度。树宽近似是一个已知在输入规模方面具有线性时间FPT算法，且在参数（树宽）方面仅为单指数的问题。目前尚不清楚该结果在理论上是否可以进一步改进。然而，参数 $k$（树宽）在指数中的系数很大。因此，我们的目标是减小指数中 $k$ 的系数，以获得更实用的算法。借此，我们将线性时间算法替换为 $\mathcal{O}(n \log n)$ 时间算法。先前已知的 $\mathcal{O}(f(k) n \log n)$ 时间算法的依赖项分别为 $2^{24k}k!$、$2^{8.766k}k^2$（更好的分析表明其为 $2^{7.671k}k^2$）甚至更高。在本文中，我们提出了一种运行时间为 $\mathcal{O}(2^{6.755k}\ n \log n)$ 的树宽近似算法。此外，我们对最左分离器的数量进行了计数，并给出了其紧上界。我们证明大小 $\leq k$ 的最左分离器的数量最多为 $C_{k-1}$（Catalan数）。然后，我们提出了一种能在 $\mathcal{O}(\frac{4^k}{\sqrt{k}}n)$ 时间内输出所有最左分离器的算法。