公平抛硬币：更紧的分析与多方情形

在多方可公平抛硬币协议中，即便部分恶意方试图偏置输出，各方仍输出一个公共的（近似）无偏比特。本文关注任意数量 corrupted 方的情形。Cleve [STOC 1986] 已证明，在任何此类 $m$ 轮抛硬币协议中，corrupted 方可将诚实方公共输出比特偏置 $\Theta(1/m)$。二十余年来，已知最佳抛硬币协议为 Awerbuch 等人 [Manuscript 1985] 所提出，其给出了一个 $t$ 方、$m$ 轮、偏置为 $\Theta(t/\sqrt{m})$ 的协议。这一状况被 Moran 等人 [TCC 2009] 的突破性结果改变，他们构造了偏置为最优 $\Theta(1/m)$ 的 $m$ 轮双方抛硬币协议。Haitner 与 Tsfadia [STOC 2014] 构造了偏置为 $O(\log^3m / m)$ 的 $m$ 轮三方抛硬币协议。而对于多于三方的情形，已知最佳协议仍是 Awerbuch 等人的 $\Theta(t/\sqrt{m})$ 偏置协议。我们朝消除上述差距迈进一步，提出一个 $t$ 方、$m$ 轮抛硬币协议，对任意 $t\le \tfrac12 \log\log m$，其偏置为 $O(\frac{t^4 \cdot 2^t \cdot \sqrt{\log m}}{m^{1/2+1/\left(2^{t-1}-2\right)}})$。这改进了 Awerbuch 等人的 $\Theta(t/\sqrt{m})$ 偏置协议，特别地，对于 $t\in O(1)$ 它是一个 $1/m^{\frac12 + \Theta(1)}$ 偏置协议。对于三方情形，它是一个 $O(\sqrt{\log m}/m)$ 偏置协议，改进了 Haitner 与 Tsfadia 的 $O(\log^3m / m)$ 偏置协议。我们的协议推广了 Haitner 与 Tsfadia 的协议，给出了在部分方中止或被发现作弊时其余方进行交互的适当恢复协议。我们通过提出一种分析抛硬币协议公平性的新范式，证明了新协议的公平性。