有限总体分布的轮廓外推

我们研究经验贝叶斯中的一个原型问题。具体而言，考虑一个由 $k$ 个个体组成的总体，每个个体属于 $k$ 种类型之一（某些类型可为空）。在没有任何结构限制的情况下，若仅观察到大小为 $m = o(k)$ 的少量（随机）子样本，则无法获知完整总体的构成。然而，我们证明在 $m =\omega(k/\log k)$ 的次线性区间内，可在总变差意义上一致估计总体的\emph{轮廓}（定义为各类型大小的 empirical distribution，其决定了总体的许多对称性质）。我们还证明，在 $m=ck$（$c$ 为任意常数）的线性区间内，最优速率为 $\Theta(1/\log k)$。我们的估计量基于 Wolfowitz 最小距离法，该方法需求解规模为 $k$ 的线性规划（LP）。我们证明存在一个单一的无限维 LP，其值同时刻画了最小距离估计量的风险并证明其极小极大最优性。利用复分析技术对该 LP 求值，得到了精确的收敛速率。