广义 Chaplygin 气体模型的扩展族

广义 Chaplygin 气体通常定义为一种正压完美流体，其状态方程为 $p=-A \rho^{-\alpha}$，其中 $\rho$ 和 $p$ 分别为固有能量密度和压强，$A$ 和 $\alpha$ 为正实参数。作为统一暗物质与暗能量的 quartessence 原型，它已在文献中被广泛研究。在此，我们考虑由三个正实参数 $A$、$\alpha$ 和 $\beta$ 参数化的广义 Chaplygin 气体模型的扩展族，对于 $\beta$ 的两个特定选择 [$\beta=1$ 和 $\beta=\left(1+\alpha\right)/(2\alpha)$]，该族由文献中先前已识别为广义 Chaplygin 气体的两种不同拉格朗日量描述。我们证明，对于 $\beta > 1/2$，线性稳定性条件和声速 $c_s$ 的最大值仅由 $\beta$ 调节，若 $\beta \ge 1$ 则有 $0 \le c_s \le 1$。我们进一步证明，在非相对论 regime 下总是恢复广义 Chaplygin 气体的标准状态方程 $p=-A \rho^{-\alpha}$，而在相对论 regime 下仅当 $\beta=\left(1+\alpha\right)/(2\alpha)$ 时如此。我们给出了广义 Chaplygin 气体的 ($\alpha\rightarrow 0$, $A \rightarrow \infty$) 极限的正则化，表明其导致一个对数 Chaplygin 气体模型，其状态方程形式为 $p = {\mathcal A} \ln\left(\rho/\rho_{*}\right)$，其中 ${\mathcal A}$ 为实参数，$\rho_*>0$ 为任意能量密度。我们最终推导了其拉格朗日表述。