探索级联轮换下最优估计量的递归

我们关注在样本轮换下，后续时段均值的最优线性估计问题，其中样本随时间的演化是通过级联模式设计的。自 Patterson (1950) 的开创性论文以来已知，当单元离开样本一定时期后不允许返回样本（轮换模式中无间隙）时，最优估计量的一步递归成立。然而，在一些重要的实际调查中，例如美国的当前人口调查或欧洲许多国家的劳动力调查，单元在缺席样本数个时段后会返回样本（轮换模式中存在间隙）。在这种情况下，确定最优估计量递归形式的问题难度急剧增加。此问题尚未解决。取而代之的是开发了替代的次优方法，如 K-复合估计（参见例如 Hansen 等人 (1955)）、AK-复合估计（参见例如 Gurney 和 Daly (1965)）或时间序列方法（参见例如 Binder 和 Hidiroglou (1988)）。在本文中，我们克服了这一长期存在的困难，即提出了针对轮换模式中存在间隙的方案，其均值最优线性估计量的解析递归公式。这是在一定的技术条件下实现的：假设 I 和假设 II（数值实验表明这些假设可能普遍满足）。为了达到这一目标，我们开发了一种代数算子方法，该方法将最优线性估计量的递归问题简化为两个问题：(1) 由轮换模式定义的多项式 $Q_p$ 的根（可能是复数）的定位（$Q_p$ 恰好可以通过第一类 Chebyshev 多项式方便地表示），(2) 由轮换模式和多项式 $Q_p$ 的根定义的矩阵 $S$ 的秩。