具有非局部耦合的振荡介质中螺旋波的存在性

我们证明了具有非局部耦合的振荡介质中螺旋波的存在性。我们的出发点是作为经历 Hopf 分岔的积分-微分方程的振幅方程而严格推导出的非局部复 Ginzburg-Landau（cGL）方程。由于这个约化方程包含了在 cGL 的形式推导中通常被忽略的高阶项，我们找到的解也对应于原始非局部系统的解。为了证明这些模式的存在性，我们使用微扰方法结合隐函数定理。在适当的参数区域内，我们发现螺旋波模式具有波数 $\kappa$，其展开式为 $\kappa \sim C e^{-a/\varepsilon}$，其中 $a$ 是一个正常数，$\varepsilon$ 是小分岔参数，而正常数 $C$ 取决于非局部耦合的强度和范围。我们面临的主要困难来自我们方程组中出现的线性算子。由于系统中存在的对称性，并且因为方程是在平面上提出的，这些映射在其本质谱中嵌入了一个零特征值。因此，当定义在标准 Sobolev 空间之间时，它们不可逆，从而无法直接应用隐函数定理。我们通过使用双加权 Sobolev 空间重新定义这些算子的域来克服这一困难。这些空间编码了函数在原点附近和远场的代数衰减/增长性质，并使我们能够恢复这些映射的 Fredholm 性质。