字 RAM 上带有理数权重的精确最短路径
数据结构与算法
2023-11-07 v1
摘要
带权图最短路径的精确计算传统上在两种设置之一中研究。首先，可假设边权为实数且对实数执行的所有操作（通常为比较和加法）耗时常数时间。经典的 Dijkstra 和 Bellman-Ford 算法即在此设置下描述。针对整数权图已获得更高效的确切最短路径算法。整数性假设不仅支持更快算法，还允许在更现实的字 RAM 模型中实现上述算法，其中仅对 位整数执行算术操作耗时常数时间。在字 RAM 上，同样可高效精确地编码具有 位分子和分母的\emph{有理数权重}实例。然而，已知的确切实权最短路径算法在如此有理数输入上运行时，若精确表示，易遇到 位的中间值。这导致字 RAM 上 的减速因子。同时，适用于整数权重的缩放算法在不大幅提高精度的情况下无法为有理数输入产生精确解。本文中，我们为字 RAM 上有理数权图设计了随机化精确单源最短路径算法。最重要的是，在非负情况下，我们获得了近线性时间算法，与 Dijkstra 算法运行时间相差至多多对数因子。在存在负权时，我们给出 时间算法，对足够稠密图突破了 Bellman-Ford 所达最佳已知强多项式界。
引用
@article{arxiv.2311.03321,
title = {Exact Shortest Paths with Rational Weights on the Word RAM},
author = {Adam Karczmarz and Wojciech Nadara and Marek Sokołowski},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.03321},
year = {2023}
}