Bellman-Ford 算法在最短跳数受限路径问题上是最优的

本文研究在边加权图中寻找使用至多 $h$ 条边的最短 $s$-$t$ 路径问题。Bellman--Ford 算法在 $O(hm)$ 时间内解决该问题，其中 $m$ 为边数。我们证明在流行的细粒度复杂性假设下，该运行时间是最优的（至多相差次多项式因子）。更具体地，我们证明在 APSP 假设下，该问题即使在带有非负边权的无向图中也无法更快求解。该下界甚至对任意密度的图以及任意 $h \in O(\sqrt{m})$ 也成立。此外，在更强的假设即 Min-Plus Convolution 假设下，我们可以去掉 $h \in O(\sqrt{m})$ 的限制。换言之，$O(hm)$ 界对于参数 $h$、$m$ 与 $n$（其中 $n$ 为节点数）的整个空间是紧的。我们的下界可与近期针对负权单源最短路径问题（Bellman--Ford 算法的教科书式应用）的近线性时间算法形成对比。