Exact extremal non-trivial cross-intersecting families

两个集合族 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 若满足每对集合 $A\in \mathcal{A}$ 和 $B\in \mathcal{B}$ 均有非空交集，则称为交叉相交。设 $\cal{A}$ 和 ${\cal B}$ 为 $[n]$ 中 $k$ 子集和 $\ell$ 子集的交叉相交族。Matsumoto 和 Tokushige [J. Combin. Theory Ser. A 52 (1989) 90--97] 研究了 $|\cal{A}||\cal{B}|$ 的最大问题，并在 $n\ge 2 \ell\ge 2k$ 时得到唯一的极大解。本文进一步探讨 $|\cal{A}||\cal{B}|$ 的第二个极大值，并证明：若 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 不是 Matsumoto--Tokushige 极大解的子族，则对于 $n\ge 2\ell >2k$ 或 $n> 2\ell=2k$，要么