压缩感知中未知稀疏度的估计

在压缩感知（CS）理论中，未知信号 $x\in\R^p$ 的稀疏度 $||x||_0$ 通常被假定为一个已知参数。然而，在实践中它通常是未知的。由于 CS 的许多方面依赖于已知 $||x||_0$，因此以数据驱动的方式估计这一参数非常重要。第二个实际问题是 $||x||_0$ 是 $x$ 的一个高度不稳定的函数。特别是，对于元素不完全等于 0 的真实信号，值 $||x||_0=p$ 并不能有效描述坐标的有效数量。在本文中，我们提出估计一个稳定的稀疏度度量 $s(x):=||x||_1^2/||x||_2^2$，它是 $||x||_0$ 的一个精确下界。我们的估计过程仅使用少量线性测量，不依赖任何稀疏性假设，且计算量非常小。我们给出了 $s(x)$ 的置信区间，并证明其宽度与信号维度 $p$ 无关。此外，这一结果自然地扩展到矩阵恢复场景，其中可以估计矩阵秩的软版本，并具有类似的保证。最后，我们证明了使用随机化测量对于估计 $s(x)$ 是必不可少的。这是通过证明当 $n<<p$ 时，使用确定性测量估计 $s(x)$ 的极小极大风险很大来完成的。