鞅中间隙的估计及其在抛硬币中的应用：构造与困难性

考虑为 n 个处理器设计分布式抛硬币协议，使得正面的概率为 [0,1] 中的 X0，且对手可重置一个处理器以改变最终结果分布。对于 X0=1/2，在非密码学设定下，Blum 的多数协议具有 $\frac1{\sqrt{2\pi n}}$ 的不安全性。对于计算受限的对手和任意 X0 in [0,1]，Moran、Naor、Segev（2009）的协议仅具有 O(1/n) 的不安全性。在本文中，我们研究离散时间鞅 (X0,X1,..,Xn)，使得对所有 i in {0,..,n} 有 Xi in [0,1]，且 Xn in {0,1}。特别地，对于任意 X0 in [0,1]，我们构造了产生 $\frac12\sqrt{\frac{X_0(1-X_0)}{n}}$ 不安全抛硬币协议的鞅，该协议具有 n 位通信；与表示输出分布所需的位数无关。注意，对于足够小的 X0，即使面对计算无界对手，我们也比 Moran 等人的协议实现了更高的安全性。对于 X0=1/2，我们的协议仅需要 40% 的处理器即可获得与多数协议相同的安全性。我们引入了一种新的归纳技术，使用几何变换来估计这些鞅中的大间隙。对于任意 X0 in [0,1]，我们证明存在停止时间 $T$ 使得 $\mathbb{E}[|{X_T-X_{T-1}}|]\geq\frac2{\sqrt{2n-1}}\cdot X_0(1-X_0)$。该归纳技术还构造了证明我们界最优性的鞅——我们构造了最优鞅，使得任意 $T$ 有 $\mathbb{E}[|{X_T-X_{T-1}}|]\leq\frac1{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{X_0(1-X_0)}$。我们的下界对所有 X0 in [0,1] 成立；而 Cleve、Impagliazzo（1993）的先前界限仅对正常数 X0 存在。我们的方法仅使用基本技术，避免了 Cleve、Impagliazzo（1993）和 Beimel、Haitner、Makriyannis、Omri（2018）方法中固有的复杂概率工具。