含噪标准与广义相位恢复问题中经验 $\ell_2$ 风险最小化的误差界

本文研究了在含噪（标准）相位恢复（NPR，给定为 $y_k = |\alpha_k^*x_0|^2+\eta_k$）或含噪广义相位恢复（NGPR，表述为 $y_k = x_0^*A_kx_0 + \eta_k$）中经验 $\ell_2$ 风险最小化（ERM）的估计性能，其中 $x_0\in\mathbb{K}^d$ 为期望信号，$n$ 为样本量，$\eta= (\eta_1,...,\eta_n)^\top$ 为噪声向量。我们在不同噪声模式下建立了新的误差界，且证明对 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ 均成立。在任意噪声向量 $\eta$ 下的 NPR 中，我们推导出新的误差界 $O\big(\|\eta\|_\infty\sqrt{\frac{d}{n}} + \frac{|\mathbf{1}^\top\eta|}{n}\big)$，其在许多情形下比当前已知的 $O\big(\frac{\|\eta\|}{\sqrt{n}}\big)$ 更紧。在 NGPR 中，我们对任意 $\eta$ 给出 $O\big(\|\eta\|\frac{\sqrt{d}}{n}\big)$。在两问题中，任意噪声的界立即给出亚高斯或亚指数随机噪声下的 $\tilde{O}(\sqrt{\frac{d}{n}})$，并去除或弱化了某些常规但非本质的假设（如独立或零均值条件）。此外，我们首次尝试在假定具有有界 $l$ 阶矩的重尾随机噪声下进行 ERM。为在偏差与方差间取得权衡，我们对响应进行截断并提出相应的鲁棒 ERM 估计量，证明其在 NPR 与 NGPR 中均具有保证 $\tilde{O}\big(\big[\sqrt{\frac{d}{n}}\big]^{1-1/l}\big)$。所有误差界可直接推广至更一般的秩-$r$ 矩阵恢复问题，这些结果表明 NGPR 中的满秩框架 $\{A_k\}_{k=1}^n$ 比 NPR 中的秩-1 框架 $\{\alpha_k\alpha_k^*\}_{k=1}^n$ 对偏置噪声更具鲁棒性。我们给出了大量实验结果以阐明理论发现。