积分概率度量遇上神经网络：Radon-Kolmogorov-Smirnov 检验

积分概率度量（IPMs）构成一类通用的非参数双样本检验，其基于在某一函数空间 $\mathcal{F}$ 中的所有数据变换 $f$ 上，最大化来自分布 $P$ 与另一分布 $Q$ 的样本均值差。受近期将所谓 $\textit{Radon 有界变分}$（RBV）函数与神经网络相联系的工作（Parhi 与 Nowak，2021，2023）启发，我们研究取 $\mathcal{F}$ 为给定光滑度阶 $k \geq 0$ 的 RBV 空间单位球时所定义的 IPM。该检验我们称之为 $\textit{Radon-Kolmogorov-Smirnov}$（RKS）检验，可视为经典 Kolmogorov-Smirnov（KS）检验向多维与更高光滑度阶的推广。它也与神经网络密切相关：我们证明 RKS 检验中的见证函数——达到最大均值差的函数 $f$——总是一个 $k$ 阶脊样条，即神经网络中的单个神经元。因此我们可利用现代神经网络优化工具包来（近似）最大化 RKS 检验背后的准则。我们证明 RKS 检验在区分任意不同的分布对 $P \not= Q$ 时具有渐近全功效，推导其渐近零分布，并通过实验阐明 RKS 检验相较于更传统的核 MMD 检验的优劣。