eGHWT：扩展广义 Haar-Walsh 变换

将计算谐波分析工具从正则格点的经典设置扩展到图与网络更一般的设置非常重要，且近期已有大量研究。Irion 和 Saito (2014) 提出的广义 Haar-Walsh 变换（GHWT）是一种用于图信号的多尺度变换，是经典 Haar 与 Walsh-Hadamard 变换的推广。我们提出扩展广义 Haar-Walsh 变换（eGHWT），它是 Thiele 和 Villemoes (1996) 的适配时频铺砖的推广。eGHWT 不仅考察图域划分的效率，同时也考察“sequency 域”划分的效率。因此，eGHWT 及其相关的图信号最佳基选择算法以相似的计算代价 $O(N \log N)$（其中 $N$ 为输入图的节点数）显著提升了先前 GHWT 的性能。GHWT 最佳基算法在 $\mathbb{R}^N$ 中超过 $(1.5)^N$ 个可能的正交基中为给定任务寻找最合适正交基，而 eGHWT 最佳基算法可通过在 $\mathbb{R}^N$ 中超过 $0.618\cdot(1.84)^N$ 个可能的正交基中搜索找到更好的基。本文描述了 eGHWT 最佳基算法的细节，并使用包括真实图信号以及视作图信号的常规数字图像在内的若干例子展示了其优越性。此外，我们还展示了如何通过将 2D 信号和矩阵形式数据视为由其列与行生成的图张量积，将 eGHWT 扩展到 2D 信号和矩阵形式数据，并展示了其在图像逼近等应用上的有效性。