高效穿刺凸多边形及 Hadwiger-Debrunner $(p, q)$-定理的变体

Hadwiger 与 Debrunner 证明：对于 $\mathbb{R}^d$ 中凸集族，若其满足任意 $p$ 个中必有 $q$ 个有公共点，则当 $p \geq q \geq d+1$ 且 $(d-1)p < d(q-1)$ 时，整个族可被 $p-q+1$ 个点穿刺。这推广了 Helly 的经典结果。我们展示了如何为平面上一总顶点数为 $n$ 的凸多边形族计算这样的穿刺集，期望时间为 $O((p-q+1)n^{4/3}\log^{8} n(\log\log n)^{1/3} + np^2)$。对于 $\mathbb{R}^3$ 中的多面体，我们得到期望时间 $O((p-q+1)n^{5/2}\log^{10} n(\log\log n)^{1/6} + np^3)$ 的算法。我们还研究了凸多边形的其他条件，使我们的算法能找到穿刺它们的固定数目点。最后，我们展示了 Hadwiger 与 Debrunner $(p,q)$-定理的类似结果在其他设定中成立，例如 $\mathbb{R}^d\times\mathbb{Z}^k$ 中的凸集或抽象凸几何。