无界域上谱方法的高效缩放与移动技术

当使用 Laguerre 与 Hermite 谱方法数值求解无界域上的偏微分方程时，分配在感兴趣区域内的配置点数目往往不足，尤其在区域被扩展或平移以安全捕获未知解时。单纯增加配置点数目不能保证快速收敛到谱精度。本文中，我们提出一种缩放技术与一种移动技术，以自适应地在感兴趣区域聚集足够多的配置点，从而实现快速的谱收敛。我们的缩放算法采用频域中的一个指示子，用于判断何时需要缩放，并指导缩放因子的调节，以重新分布配置点来适应解的扩散行为。我们的移动技术采用外部误差指示子并移动配置点以捕获平移。频域与外部误差指示子均仅由数值解定义。我们将方法应用于若干不同模型，包括扩散与移动的 Fermi-Dirac 分布以及非线性 Dirac 孤子波，并展示了时变模拟中谱收敛的恢复。在求解线性抛物问题的性能比较中，我们的频域缩放算法优于现有缩放方法。我们还展示了频域缩放技术能够追踪细胞增殖模型中平均细胞尺寸的爆破。