面向每行含一个短随机块的近二次矩阵的高效高斯消元及其 applications

本文中我们确定了一类新的稀疏近二次随机布尔矩阵，其以高概率在 $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ 上具有满行秩，并且可通过简单版本的高斯消元在几乎线性时间内化为阶梯形。维度为 $n(1-\varepsilon) \times n$ 的随机矩阵生成如下：在每一行中，于随机位置确定一个长度为 $L=O((\log n)/\varepsilon)$ 的块。块外元素为 0，块内元素由公平掷硬币给出。按块位置对行排序可将矩阵变换为一种带状矩阵，事实证明在此矩阵上高斯消元以高概率非常高效。证明中，高斯消元的效果被解释为 Robin Hood 哈希的一种（“掷硬币”）变体，其行为可用排队论中的简单马尔可夫模型刻画。期望构造时间界和高成功概率由该领域结果得出。通过采用哈希，该矩阵族导出了检索数据结构的新实现，其表示某个具有 $m=(1-\varepsilon)n$ 个键的集合 $S$ 上的任意函数 $f\colon S \to \{0,1\}$。它需要 $m/(1-\varepsilon)$ 比特空间，构造在字 RAM 上期望耗时 $O(m/\varepsilon^2)$，而查询耗时 $O(1/\varepsilon)$ 且只访问表示中一段连续的 $O((\log m)/\varepsilon)$ 比特。该方法与最先进方法具有竞争力。通过成熟方法，该检索数据结构可导出（静态）完美哈希函数和（静态）Bloom 过滤器的高效构造，具有近乎最优的空间和非常局部的查询存储访问模式。