Teichmueller 曲线的模嵌入

具有模嵌入的 Fuchs 群在非算术 Fuchs 群中拥有最丰富的算术性质。但它们非常罕见，所有已知示例要么与三角形群有关，要么与 Teichmueller 曲线有关。在本文第一部分中，我们研究了模嵌入的算术性质，并从零开始为具有模嵌入的 Fuchs 群发展了扭模形式理论，证明了维数公式、系数增长估计和微分方程。在第二部分中，我们为 Picard-Fuchs 方程解的 Apery 类整性陈述提供了模证明。我们通过一个具体算例说明该理论，给出了扭模形式的显式傅里叶展开以及 Hilbert 模曲面中 Teichmueller 曲线的方程。在第三部分中，我们证明了 genus two Teichmueller 曲线是由 theta 导数的乘积在 Hilbert 模曲面中截出的。我们从这一视角重新推导了这些 Teichmueller 曲线的大多数已知性质，而未使用平坦曲面理论。作为推论，我们给出了所有 genus two Teichmueller 曲线的模嵌入，并证明了其扭模形式的傅里叶展开在相差一个超越缩放常数下是代数的。此外，我们证明了 Bainbridge 对 Hilbert 模曲面的紧化是环面的。紧化策略可用连分数表达，形式上类似于 Hirzebruch 的方法，但每个细节均不相同。