弱记忆区中微观与纳米尺度系统的动力学：超越马尔可夫近似的数学框架

小尺度系统的可观测动力学受不可观测自由度的强烈影响，这些自由度可属于外部环境或内部子系统，且几乎不可避免地会引发记忆效应。形式上，通过投影算子技术，这类不可及自由度可以从几乎任何微观模型中被系统地消除，从而得到非局域时间演化方程。本文研究了在标准马尔可夫近似之外，如何以及在何种条件下能够严格恢复时间上的局域性，而标准马尔可夫近似通常要求可及与不可及自由度的特征时间尺度被截然分开。具体而言，我们考虑在感兴趣变量上自治且线性的非局域时间演化方程。对于此类模型，我们证明了一个数学定理，该定理确立了一个明确定义的弱记忆区，在此区域中存在忠实的局部近似，即使相关时间尺度具有可比的量级。这些局部近似的生成子在长时间极限下变得精确，其与时间无关，并可通过以记忆强度为参数的收敛微扰理论确定至任意精度，其中一阶项即恢复马尔可夫生成子。作为示例，我们计算了三个简单但具启发性的例子，涵盖粗粒化马尔可夫跳跃网络、半马尔可夫跳跃过程和广义 Langevin 方程。