DUE：用于建模未知方程的深度学习框架与库

方程，特别是微分方程，是理解自然现象并预测跨越各种科学和工程领域的复杂动态的基本工具。然而，许多复杂系统的支配方程因其内在机制的复杂性而未知。近年来，机器学习与数据科学的进展为从测量或仿真数据中对未知方程进行建模提供了新的范式。这种范式转换——即数据驱动发现或建模——处于 AI for science 的前沿，近年来取得了显著进展。本文介绍了一个系统化的框架，用于基于深度学习进行未知方程的建模。该框架能够学习未知的常微分方程 (ODE)、抛物线方程 (PDE)、指数指数型方程 (DAE)、积分型方程 (IDE)、随机微分方程 (SDE)、简化或部分观测系统以及非自主微分方程。基于该框架，我们开发了深度未知方程 (DUE)，一个开源软件包，旨在利用现代深度学习技术促进未知方程的数据驱动建模。DUE 作为课堂教学工具，使学生和新手能够获得微分方程、数据驱动建模和当代深度学习方法（如 FNN、ResNet、广义 ResNet、算子半群网络 (OSG-Net) 和 Transformer）的动手经验。此外，DUE 是一个灵活且可接近的工具，适用于跨越多个科学和工程领域的研究人员。它不仅可用于从数据中学习未知方程，也可用于对已知但使用传统数值方法求解成本较高的方程进行代理建模。我们提供了 DUE 的详细描述，并通过多样化的示例演示了其功能，这些示例可轻易适用于其他应用。