对 Le Cam 方法进行对偶化用于泛函估计及其在未观测对象估计中的应用

Le Cam 方法(或称两点法)是获得统计下界的常用工具,尤其在泛函估计问题中流行。本文旨在从凸对偶的角度解释并给出 Le Cam 下界在泛函估计中紧的条件。在多种设定下表明,寻求最佳两点下界的最大化问题经对偶化后,变为在一类估计量中优化偏差-方差权衡的最小化问题。对于分布的线性泛函估计,我们的工作通过去掉模连续性上的 Hölder 假设,加强了 Donoho-Liu \cite{DL91} 的先前结果(针对二次损失)。对于指数族,我们的结果在更弱的指数族假设下刻画了二次损失的极小极大风险,从而推广了 Juditsky-Nemirovski \cite{JN09} 的结果。我们还给出了针对估计可分离泛函的高维设定的推广。值得注意的是,结合复分析工具,该方法在刻画“肘部效应”——从参数速率到非参数速率的相变——方面特别有效。作为主要应用,我们导出了不同元素问题中的锐极小极大速率(给定来自含 $d$ 个球的 urn 中比例为 $p$ 的彩色球,估计不同颜色数的最优误差为 $\tilde \Theta(d^{-\frac{1}{2}\min\{\frac{p}{1-p},1\}})$)和 Fisher 物种问题(给定来自未知分布的 $n$ 个 iid 观测,对接下来(未观测)$r \cdot n$ 个观测中未观测符号数预测的最优误差为 $\tilde \Theta(n^{-\min\{\frac{1}{r+1},\frac{1}{2}\}})$)。