量子计算的对偶场论

给定 N 个量子比特的两个量子态，我们感兴趣的是找到仅由单量子比特和双量子比特门组成的最短量子电路，将一个态转换为另一个态。我们称之为量子迷宫问题，理由见文中。我们论证，在大 N 极限下，量子迷宫问题等价于在某个晶格场论（对偶理论）的 N+1 维时空中寻找半经典轨迹的问题，该时空几何平坦但拓扑紧致的空间切片。空间基本域是一个 N 维超菱面体，时间方向描述从任意初态到任意目标态的跃迁。我们首先考虑复 Klein-Gordon 场论，并论证它只能用于研究不涉及由多个 Pauli Z 矩阵张量积组成的生成元的最短量子电路。由于这种情况不具一般性，我们称之为 Z-问题。在对偶场论一侧，Z-问题对应于相位的无质量激发（Goldstone 模式），我们尝试用 Higgs 机制来修复。不受无质量激发（或 Z-问题）影响的最简单对偶理论是 Abelian-Higgs 模型，我们认为它可用于寻找最短量子电路。由于场论的每个轨迹都直接映射到量子电路，最短量子电路被等同于半经典轨迹。我们还讨论了使用对偶理论视角解决量子迷宫问题的实际算法的复杂性，并将其与几何方法比较。我们论证，有可能在 2^N 的子指数时间内解决问题，但为此我们必须考虑弯曲空间几何和/或更复杂（相较于 N-环面）拓扑上的 Klein-Gordon 理论。