基于腔方法的无向随机网络中心性测度分布

复杂网络中节点的 Katz 中心性是衡量该节点在网络信息流方面重要性的测度。对于局部树状无向随机图集合，该可观测值是一个随机变量。其完整概率分布备受关注，但由于其“全局”特性以及通过矩阵逆定义，难以进行解析处理。利用快速的高斯置信传播-腔算法求解树状结构上的线性系统，我们表明：(i) 单个实例的 Katz 中心性可以以极快的方式递归计算；(ii) 无向随机图集合中随机节点具有中心性 $K$ 的概率 $P(K)$ 满足一组递归分布方程，可以使用种群动力学算法进行解析刻画并高效求解。我们在局部树状区域的 Erdős-Rényi 网络和无标度网络集合上测试了我们的解，取得了极好的一致性。随着平均度数的增加，该分布展现出多峰态与单峰态之间的转变，其中不同的峰值对应于不同度数节点对中心性的贡献。我们还提供了一种基于秩-$1$ 投影的近似公式，该公式在网络不太稀疏时效果良好，并论证了我们的方法可高效扩展，以透明且易于使用的方式处理有向网络中其他中心性测度（如 PageRank）的解析分布。