分布式内存层次插值分解

层次插值分解 (HIF) 为求解或预条件椭圆型偏微分方程提供了一种高效的方法。通过利用算子的局部性和低秩性质，HIF 在分解离散正定椭圆算子时实现了拟线性复杂度，并在求解相关线性系统时实现了线性复杂度。本文引入了分布式内存 HIF (DHIF)，作为 HIF 的并行分布式内存实现。DHIF 将进程组织成层次结构，并尽可能保持通信局部化。构建和应用 DHIF 的计算复杂度分别为 $O\left(\frac{N\log N}{P}\right)$ 和 $O\left(\frac{N}{P}\right)$，其中 $N$ 为问题规模，$P$ 为进程数。通信复杂度为 $O\left(\sqrt{P}\log^3 P\right)\alpha + O\left(\frac{N^{2/3}}{\sqrt{P}}\right)\beta$，其中 $\alpha$ 为延迟，$\beta$ 为带宽倒数。在 NERSC Edison 系统上使用多达 8192 个进程进行了广泛的数值实验。数值结果与复杂度分析一致，并证明了 DHIF 的效率和可扩展性。