迭代构造的代数

不动点是计算机科学中反复出现的主题，常作为对合适初始值的固定点迭代的极限来构造。我们提出迭代构造代数（AIC）——一种纯代数的方法，用于推理关于 complete lattice 上连续内射图的固定点迭代。AIC通过等式逻辑推导构造性固定点定理，避免了指数索引的显式计算。例如，$F \Diamond F^{*} \bot = \Diamond F^{*} \bot$ 表明在 AIC 中 $\sup_n F^n (\bot)$——即来自 Kleene 固定点定理的一种构造——是 $F$ 的一个固定点。我们通过提供几个著名且较为众所熟知的固定点定理的代数证明来展示 AIC 的适用性：其中之一是 Tarski-Kantorovich 原理——即 Kleene 固定点定理的推广——以及一种固定点理论化的 $k$ 归纳——一种用于软件验证的技术。我们还提出了一种新型固定点定理。在适当的连续性条件下，它以 lattice 理论极限下限和极限上限的方式获取内射图在任意初始元素上的固定点。我们在 Isabelle/HOL 中实现了我们的代数。Isabelle 的 sledgehammer 工具能够完全自动地找到上述固定点定理的证明。最后，我们调查了 AIC 公理化的完备性。我们证明了我们有限个 finitary 公理集 (a) 对 AIC 的标准模型（complete lattice 元素序列）是 sound 但不完备的；而 (b) 另一套有限个 infinitary 公理集是完备的。我们还证明 infinitary 公理是不可避免的：不存在以有限个 finitary 公理给出的完备公理化来描述标准模型。