$\mathbb{Z}_{m+1}^N$ 中的无维数 $L^p$-极大不等式

对于 $m \geq 2$，令 $(\mathbb{Z}_{m+1}^N, |\cdot|)$ 表示装备有所谓 $l^0$ 度量的群，$$|y| = \left| \big( y(1), \dots, y(N) \big) \right| := | \{1 \leq i \leq N : y(i) \neq 0 \} |,$$ 并定义 $r$-球面的 $L^1$-归一化指示函数，$$\sigma_r := \frac{1}{|\{|x| = r\}|} 1_{\{|x| =r\}}.$$ 我们研究作用于 $\mathbb{Z}_{m+1}^N$ 上函数的极大算子 $$M^{N} f (x) := \sup_{r \leq N} | \sigma_r*f|$$ 的 $L^p \to L^p$ 映射性质。具体而言，我们证明对于所有 $p>1$，存在绝对常数 $C_{m,p}$，使得对于所有 $N$，有 $$\| M^{N} f \|_{L^p(\mathbb{Z}_{m+1}^N)} \leq C_{m,p} \| f \|_{L^p(\mathbb{Z}_{m+1}^N)}$$。