高维中与旋转不变测度相关的极大函数的界

在近期的文章中，已证明当 $\mu$ 是 $\real^n$ 中具有有界径向递减密度的有限径向测度时，对于接近1的一小段 $p$ 值范围，相关极大算子 $M_\mu$ 的 $L^p(\mu)$ 范数随维度增长而趋于无穷。我们证明，当 $\mu$ 是限制在单位球上的勒贝格测度且 $p<2$ 时，该极大算子的 $L^p$ 算子范数在维度上是无界的，即使其作用被限制在径向递减函数上也是如此。尽管如此，当被限制在径向递减函数上时，该极大算子对所有 $p>2$ 都具有与维度无关的 $L^p$ 界。另一方面，当 $\mu$ 是高斯测度时，对于任意有限的 $p> 1$，该极大算子的 $L^p$ 算子范数随维度增长而趋于无穷，即使在径向递减函数子空间中也是如此。