优先连接模型中的直径

本文研究优先连接(PA-)模型中的直径,从而量化这些模型是小世界这一论断。本文所研究的模型中,边以与度数加常数成正比的方式连接到较老的顶点,即我们考虑仿射 PA 模型。已有大量文献证明,在相当一般的情形下,PA 图具有幂律度序列,其幂律指数为 $\tau>2$。我们证明 PA 模型的直径以常数倍 $\log{t}$ 为上界,其中 $t$ 为图的规模。当幂律指数 $\tau>3$ 时,我们通过证明直径与典型距离均具有该阶的下界,证明 $\log{t}$ 是正确的阶。这表明当 $\tau>3$ 时,距离的阶为 $\log{t}$。对于 $\tau\in (2,3)$ 的情形,我们将上界改进为常数倍 $\log\log{t}$,并证明直径具有同阶的下界。遗憾的是,该证明不能推广到典型距离。这些结果确实表明直径的阶为 $\log\log{t}$。这些界部分地证明了物理学家的预测:PA 图中的典型距离与其他无标度随机图(如构型模型及各种非齐次随机图模型)中的典型距离相似,后者已被证明当 $\tau\in (2,3)$ 时典型距离的阶为 $\log\log{t}$,而当 $\tau>3$ 时阶为 $\log{t}$。