有限维中的图向量与紧框架缩放

我们考虑有限维希尔伯特空间 $H_n$ 中的框架，其中框架恰好是向量空间的生成集。先前使用极坐标定义了 $\mathbb{R}^2$ 中向量的图向量，并用于以几何方式刻画 $\mathbb{R}^2$ 中的紧框架。重新表述 $\mathbb{R}^2$ 中图向量的定义，我们给出了该概念到 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{C}^n$ 的自然推广。利用图向量，我们给出了 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 中紧框架的刻画。此外，我们给出了 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 中单位范数框架何时可以缩放为紧框架的刻画。这一分类使我们能够确定使单位范数框架变为紧框架的所有缩放系数。