魔鬼游戏与 $\text{Q}\mathbb{R}$：实数一阶理论的完备复杂度类

我们引入复杂度类 Quantified Reals ($\text{Q}\mathbb{R}$)。若语言 $L$ 满足存在从 $L$ 到一阶实数理论真句集合 FOTR 的多项式时间归约，则称 $L$ 属于 $\text{Q}\mathbb{R}$。这似乎是该复杂度类首次被研究。我们表明 $\text{Q}\mathbb{R}$ 也可使用实数图灵机定义。已知决定 FOTR 至少需要指数时间[无条件下][Berman, 1980]。我们聚焦于具有两个定义性质的魔鬼游戏：(1) 玩家（人类和魔鬼）轮流行动；(2) 每一步都有连续的选项。首先，我们证明 FOTRINV 是 $\text{Q}\mathbb{R}$-complete 的。FOTRINV 仅包含 inversion 和 addition 约束，所有变量均在紧凑区间内。FOTRINV 是进一步归约的跳板。其次，我们证明 Packing Game 是 $\text{Q}\mathbb{R}$-complete 的。在 Packing Game 中，给定容器和两组拼图。一组拼图用于人类，一组用于魔鬼。人类和魔鬼轮流将拼图放入容器中。允许旋转和平移。第一个无法放置拼图的玩家输掉。第三，我们证明 Planar Extension Game 是 $\text{Q}\mathbb{R}$-complete 的。给定部分绘制的平面图，人类和魔鬼轮流以直线方式放置顶点和相应的边。预先规定要放置的顶点和边。第一个无法放置顶点的玩家输掉。最后，我们证明 Order Type Game 是 $\text{Q}\mathbb{R}$-complete 的。给定一种顺序类型和一个线性顺序。人类和魔鬼轮流在欧几里得平面上按照线性顺序放置点。第一个无法正确放置点的玩家输掉。