设计 Strassen 算法

1969年，Strassen 通过证明两个 n x n 矩阵可以在渐近小于 $O(n^3)$ 的时间内相乘而震惊了世界。尽管其算法中的递归构造非常清晰，但关键的收益在于证明了 2 x 2 矩阵乘法仅需 7 次乘法而非 8 次即可完成。后一种构造是通过排除法得到的，似乎凭空出现。在此，我们利用一个简单的酉 2-设计 (unitary 2-design) 和几行简单的计算，给出了我们所知的最简单且最透明的 Strassen 算法证明。此外，利用有限群表示论的基本事实，我们使用来自群轨道的 2-设计将构造推广到所有 n（尽管所得算法对于 n 至少为 3 时并非最优）。